Which goat tethering setup gives more grazing area in a rectangular field?

Key concept: Bài này thực ra là một bài so sánh diện tích hình quạt trong góc vuông của hình chữ nhật. Muốn làm nhanh, chỉ cần nhìn xem mỗi con dê bị giới hạn bởi bán kính dây thừng và góc ở góc vườn.

Step by step

Gọi mỗi con dê được buộc ở một góc của hình chữ nhật. Vì góc vườn là $90^\circ$, nên mỗi con dê chỉ ăn được trong một phần tư hình tròn có bán kính bằng độ dài dây.

Cách a: hai dây đều dài 20 m

• Mỗi con dê ăn được diện tích: $S_1=\frac14\pi\cdot 20^2=100\pi$
• Hai góc $A$ và $B$ cách nhau $AB=40$ m, nên hai vùng ăn không chồng lên nhau vì $20+20=40$ đúng bằng chiều dài cạnh.
• Tổng diện tích cỏ: $S_a=2\cdot 100\pi=200\pi$

Cách b: một dây 30 m, một dây 10 m

• Con dê buộc ở $A$ ăn được: $S_A=\frac14\pi\cdot 30^2=225\pi$
• Con dê buộc ở $B$ ăn được: $S_B=\frac14\pi\cdot 10^2=25\pi$
• Nhưng lúc này $30+10=40$, nên hai vùng vẫn vừa khít theo cạnh $AB$, không chồng lấn.
• Tổng diện tích cỏ: $S_b=225\pi+25\pi=250\pi$

So sánh

$S_b-S_a=250\pi-200\pi=50\pi>0$

Vậy cách b cho diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được lớn hơn.

Pitfall alert

Nhiều bạn hay quên rằng mỗi con dê ở góc vuông chỉ tạo ra 1/4 hình tròn, không phải cả hình tròn. Cũng đừng vội trừ phần chồng lấn ở đây, vì với các số liệu đã cho, tổng hai dây đúng bằng cạnh $AB=40$ m nên hai vùng vừa chạm nhau ở mép, không overlap.

Try different conditions

Nếu đổi thành $30$ m và $15$ m thì cần kiểm tra lại $30+15>40$. Khi đó hai vùng ăn có thể chồng lên nhau trên cạnh $AB$, và không thể chỉ cộng hai phần tư hình tròn một cách máy móc nữa. Lúc ấy phải tính phần giao nhau rồi mới so sánh diện tích thật sự.

Further reading

quarter-circle area, rectangular field, tethered goats