Prueba de infinitos primos congruentes a 3 módulo 4

Key concept: Esta demostración usa un argumento clásico por contradicción y propiedades de los números congruentes módulo 4.

Step by step

Idea central de la prueba

Queremos demostrar que existen infinitos primos positivos congruentes a $3$ módulo $4$.

La estrategia es por contradicción: suponemos que solo hay finitísimos primos de esa forma, y construimos un número que obliga a aparecer un nuevo primo congruente a $3$ módulo $4$.

Lema clave

Primero probemos el enunciado sugerido: si $a\in\mathbb{N}$ satisface

$a\equiv 3\pmod 4,$

entonces existe un primo $p\mid a$ tal que

$p\equiv 3\pmod 4.$

Para ver esto, supongamos lo contrario: que todo primo divisor de $a$ fuera congruente a $1$ módulo $4$, o bien que aparecieran factores $2$ y primos de residuo $1$ módulo $4$. Pero un producto de números congruentes a $1$ módulo $4$ sigue siendo congruente a $1$ módulo $4$, y además cualquier factor $2$ haría que el producto fuera par, no congruente a $3$ módulo $4$.

Por tanto, para que el producto total sea congruente a $3$ módulo $4$, necesariamente debe aparecer al menos un primo divisor $p$ con

$p\equiv 3\pmod 4.$

Construcción por contradicción

Ahora supongamos que solo existen finitísimos primos positivos congruentes a $3$ módulo $4$:

$p_1,p_2,\ldots,p_n.$

Consideremos el número

$a=-1+4\prod_{i=1}^n p_i.$

Observa que

$a\equiv -1\equiv 3\pmod 4,$

y además $a>1$.

Por el lema anterior, existe un primo $q$ tal que

$q\mid a \quad\text{y}\quad q\equiv 3\pmod 4.$

Pero $q$ no puede ser ninguno de los $p_i$, porque si alguno de ellos dividiera a $a$, entonces también dividiría a

$a+1=4\prod_{i=1}^n p_i,$

lo que implicaría que divide a $1$, contradicción. Más directamente, como

$a = 4\prod_{i=1}^n p_i -1,$

ingún $p_i$ divide a $a$.

Entonces $q$ es un primo nuevo congruente a $3$ módulo $4$, distinto de todos los supuestos finitos. Esto contradice la hipótesis de finitud.

Conclusión

La suposición inicial era falsa. Por lo tanto, existen infinitos primos positivos congruentes a $3$ módulo $4$.

Observación conceptual

Este argumento es un ejemplo de la filosofía de Euclides: construir un número especialmente elegido para forzar la aparición de un primo nuevo con la propiedad deseada. Aquí la congruencia módulo $4$ controla qué tipos de primos pueden dividir al número construido.

Pitfall alert

Un error frecuente es pensar que basta con usar el número $4\prod p_i+1$ sin revisar su congruencia y el tipo de primos que puede tener. En este problema, la elección correcta es $-1+4\prod p_i$, porque ese número es congruente a $3$ módulo $4$. Otro fallo común es olvidar que el lema inicial debe probarse: no basta con afirmar que un número congruente a $3$ módulo $4$ tiene un factor primo del mismo tipo; hay que justificarlo usando la multiplicatividad de las congruencias. También conviene no confundir “primos divisores” con “todos los divisores”, ya que el argumento necesita primos.

Try different conditions

Si el enunciado cambiara a “probar que existen infinitos primos congruentes a $1$ módulo $4$”, este argumento no serviría directamente con la misma construcción, porque el comportamiento módulo $4$ de los productos cambia. En ese caso se suele usar otra idea, como considerar números del tipo $p_1p_2\cdots p_n+1$ y analizar sus divisores. Si el problema preguntara por primos congruentes a $3$ módulo $8$, la construcción también tendría que ajustarse, ya que la aritmética modular más fina exige un control distinto de las clases residuales.

Further reading

congruencia módulo 4, prueba por contradicción, primos de la forma 4k+3