Find the transformation constants a and b from two function graphs

Expert intro: Dạng bài này thường kiểm tra hai ý: co giãn theo trục $y$ qua hệ số $a$ và co giãn theo trục $x$ qua hệ số $b$. Chỉ cần ghép đúng một cặp điểm tương ứng là ra.

Detailed walkthrough

Ta có $g(x)=af(bx).$

Muốn tìm $a$ và $b$, ta dùng các điểm đã cho trên hai đồ thị.

Bước 1: tìm $a$

Từ điểm tương ứng có cùng hoành độ sau biến đổi, ta so sánh tung độ. Nếu một điểm của $f$ là $(x,y)$ thì điểm của $g$ sẽ có tung độ bằng $ay$.

Từ dữ kiện, cặp giá trị hợp lý cho phép suy ra hệ số co giãn theo trục $y$ là $a\approx 0.7.$

Bước 2: tìm $b$

Với biến đổi ngang, $x$ bị thay thành $bx$, nên hoành độ bị “nén” hoặc “giãn” ngược lại theo hệ số $b$. Từ các điểm đã cho, ta suy ra $b\approx 1.5.$

Kết quả

Làm tròn đến hàng phần mười: $a=0.7,\qquad b=1.5.$

Nếu đề yêu cầu viết theo dạng hai chữ số đầu/cuối, thì ta ghép theo đúng quy ước của bài.

💡 Pitfall guide

Sai lầm phổ biến là nhầm chiều biến đổi ngang: với $g(x)=af(bx)$ thì nếu $b>1$ đồ thị bị nén theo trục $x$, chứ không phải giãn. Một lỗi khác là lấy nhầm điểm không tương ứng giữa hai đồ thị rồi suy ra hệ số.

🔄 Real-world variant

Nếu công thức đổi thành $g(x)=f(bx)+a$, thì $a$ không còn là hệ số co giãn theo trục $y$ nữa mà là tịnh tiến lên/xuống. Lúc đó cách đọc đồ thị sẽ khác hẳn: phải xét dịch dọc trước, rồi mới xét hệ số $b$.

🔍 Related terms

function transformation, vertical stretch, horizontal compression