Para cada inteiro positivo k, seja f_1(k) o quadrado da soma dos algarismos de k

Expert intro: Este problema pede uma prova de periodicidade por meio de uma função iterada sobre a soma dos algarismos. A pista sugere controlar o tamanho dos valores depois de algumas iterações.

Detailed walkthrough

Seja $s(k)$ a soma dos algarismos de $k$. Então

$f_1(k)=s(k)^2$

e, para $n\ge 2$,

$f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k))=s(f_{n-1}(k))^2.$

Queremos mostrar que a sequência

$a_n=f_n(11),\quad n\ge 1$

é periódica.

1) Primeiro valor

Como $11$ tem soma de algarismos $1+1=2$,

$a_1=f_1(11)=2^2=4.$

2) A ideia da dica

A sugestão diz para provar que

$k<1000 \Rightarrow f_1(k)<1000.$

Isso é suficiente porque, depois que a sequência entra no conjunto finito $\{0,1,2,\dots,999\}$, ela passa a viver em um conjunto finito sob a ação de uma função determinística. Em um conjunto finito, qualquer sequência iterada deve eventualmente repetir um valor, e a partir daí ela entra em um ciclo.

3) Verificação da dica

Se $k<1000$, então $k$ tem no máximo 3 algarismos. Logo, a soma dos algarismos satisfaz

$s(k)\le 9+9+9=27.$

Portanto,

$f_1(k)=s(k)^2\le 27^2=729<1000.$

Assim, a condição da dica está provada.

4) Conclusão da periodicidade

Como $a_1=4<1000$, e sempre que um termo está abaixo de $1000$ o próximo também fica abaixo de $1000$, toda a sequência $a_n$ permanece dentro do conjunto finito

$\{0,1,2,\dots,999\}.$

Logo, os valores $a_n$ só podem assumir finitely many possibilities. Portanto, algum valor se repete: existem $i<j$ tais que

$a_i=a_j.$

Como a regra de formação é determinística, isso implica que a partir desse ponto a sequência passa a repetir os mesmos valores em ciclo. Então $a_n$ é periódica.

$\boxed{\text{A sequência } a_n=f_n(11) \text{ é periódica.}}$

💡 Pitfall guide

Um erro comum é tentar provar periodicidade apenas calculando vários termos numéricos. Isso pode sugerir um padrão, mas não constitui prova.

Outro cuidado: a sequência é definida por iteração da função $f_1$, não por uma recorrência linear. A periodicidade vem do fato de a órbita ficar presa em um conjunto finito.

🔄 Real-world variant

Se a definição fosse trocada para

$f_1(k)=\text{(soma dos algarismos de }k)$

sem o quadrado, a prova seria ainda mais direta, porque a imagem de um número de até 3 algarismos ficaria no intervalo $[0,27]$.

Se o valor inicial fosse outro inteiro, o mesmo argumento continuaria valendo enquanto a órbita entrasse em um conjunto finito estável sob a função.

🔍 Related terms

função iterada, periodicidade, soma dos algarismos