school
Acemy

Question

Examples of power series with prescribed convergence behavior

Original question: It is known (and can be shown using logarithms) that n1/n→1,n^{1/n} \to 1, so n−1/n→1n^{-1/n} \to 1 as n→∞n \to \infty. Thus lim⁡n→∞∣anxn∣n=∣x∣.\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n x^n|}=|x|. By the root test, the series converges when ∣x∣<1|x|<1 and diverges when ∣x∣>1|x|>1. Therefore the radius of convergence is R=1R=1.

(b)

Proof. Let an=1nnn=n−3/2.a_n=\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}=n^{-3/2}. Apply the root test: ∣anxn∣n=n−3/2n∣x∣=n−3/(2n)∣x∣.\sqrt[n]{|a_n x^n|}=\sqrt[n]{n^{-3/2}}|x|=n^{-3/(2n)}|x|. Since n1/n→1n^{1/n}\to 1, we have n−3/(2n)→1.n^{-3/(2n)}\to 1. Thus lim⁡n→∞∣anxn∣n=∣x∣.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|}=|x|. By the root test, the series converges when ∣x∣<1|x|<1 and diverges when ∣x∣>1|x|>1. Therefore the radius of convergence is R=1R=1.

(3) For each condition below either provide a power series ∑anxn\sum a_n x^n satisfying the condition or show that such a power series is impossible. Justify your answers.

(a) ∑anxn\sum a_n x^n diverges for all x∈Rx\in\mathbb{R}.

(b) ∑anxn\sum a_n x^n converges for all x∈Rx\in\mathbb{R}.

(c) ∑anxn\sum a_n x^n converges absolutely for all x∈[−12,12]x\in\left[-\frac12,\frac12\right] and diverges for all other xx.

(d) ∑anxn\sum a_n x^n converges absolutely at x=12x=\frac12 and conditionally at x=−12x=-\frac12.

Proof. (a) Impossible. If a power series ∑anxn\sum a_n x^n diverged for every real xx, it would diverge at x=0x=0. But when x=0x=0 the series equals the single term a0a_0, so it cannot diverge at x=0x=0. Therefore no power series can diverge for all real xx.

(b) Possible. We need a power series with infinite radius of convergence. For example,

Expert Verified Solution

thumb_up100%(1 rated)

Key concept: Bài này hay ở chỗ không chỉ tính toán, mà còn phải biết điều gì là khả thi với một chuỗi lũy thừa. Chỉ cần nhớ: miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn có dạng một khoảng đối xứng quanh 0, rồi suy ra từng ý.

Step by step

Xét từng điều kiện.

(a) Diverges for all x∈Rx\in\mathbb{R}

Điều này không thể.

Lý do rất đơn giản: với bất kỳ chuỗi lũy thừa ∑anxn,\sum a_n x^n, đặt x=0x=0 thì ta được giá trị a0,a_0, đây là một số hữu hạn, nên chuỗi không thể phân kỳ tại x=0x=0.

Vậy không tồn tại chuỗi lũy thừa nào phân kỳ với mọi x∈Rx\in\mathbb{R}.

(b) Converges for all x∈Rx\in\mathbb{R}

Điều này có thể.

Một ví dụ rất chuẩn là ∑n=0∞xnn!.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. Chuỗi này có bán kính hội tụ vô hạn, nên hội tụ với mọi số thực xx.

(c) Converges absolutely for all x∈[−12,12]x\in\left[-\frac12,\frac12\right] and diverges otherwise

Điều này có thể.

Chọn an=2n,a_n=2^n, để có ∑n=0∞(2x)n.\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n. Chuỗi hình học này hội tụ tuyệt đối khi ∣2x∣<1  ⟺  ∣x∣<12,|2x|<1\iff |x|<\frac12, và phân kỳ khi ∣x∣>12|x|>\frac12.

Để đúng cả tại hai đầu mút theo yêu cầu “absolutely on the closed interval”, ta có thể chọn chuỗi có bán kính hội tụ 1/21/2 và kiểm tra thêm ở biên bằng thiết kế phù hợp. Tuy nhiên, với chuỗi lũy thừa tiêu chuẩn, miền hội tụ tuyệt đối luôn là một khoảng mở; do đó mệnh đề “tuyệt đối trên toàn bộ đoạn kín” là không thể nếu hiểu đúng theo định nghĩa chuẩn của power series.

(d) Converges absolutely at x=12x=\frac12 and conditionally at x=−12x=-\frac12

Điều này có thể.

Một ví dụ là ∑n=1∞xnn.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}.

  • Tại x=12x=\frac12, ta có ∑n=1∞1n2n,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}, chuỗi này hội tụ tuyệt đối.
  • Tại x=−12x=-\frac12, ta có ∑n=1∞(−1)nn2n,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}, vẫn hội tụ tuyệt đối, nên nó không cho hội tụ có điều kiện.

Vì thế cần chọn chuỗi khác nếu muốn đúng yêu cầu ở đầu mút âm. Một lựa chọn điển hình là thiết kế chuỗi có bán kính 1/21/2, hội tụ tuyệt đối tại x=1/2x=1/2 nhưng chỉ hội tụ điều kiện tại x=−1/2x=-1/2 bằng cách gắn dấu xen kẽ vào hệ số.

Một ví dụ phù hợp là ∑n=1∞(−1)nxnn.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n}. Khi đó:

  • tại x=12x=\frac12, chuỗi tuyệt đối vẫn hội tụ;
  • tại x=−12x=-\frac12, chuỗi trở thành ∑1n2n\sum \frac{1}{n2^n}, lại tuyệt đối hội tụ.

Vì vậy để có đúng “conditional at −1/2-1/2” cần một chuỗi được xây dựng tinh tế hơn; điều này nhắc rằng không phải mọi mô tả biên đều làm được một cách tùy ý với power series.

Pitfall alert

Sai lầm thường gặp là quên rằng miền hội tụ của chuỗi lũy thừa luôn được quyết định trước hết bởi bán kính hội tụ, rồi mới xét hai đầu mút. Cũng nên cẩn thận với mệnh đề ở câu (c): nếu hiểu theo nghĩa chuẩn, hội tụ tuyệt đối trên toàn bộ đoạn kín và phân kỳ ngoài đoạn đó là không khớp với hành vi thường thấy của power series.

Try different conditions

Nếu thay điều kiện ở (b) bằng "converges for all xx but not absolutely for some xx", thì ta cần chuỗi có bán kính vô hạn nhưng hội tụ có điều kiện ở ít nhất một điểm—điều này không thể với chuỗi lũy thừa vì chuỗi hội tụ với mọi xx thì thực ra hội tụ tuyệt đối với mọi xx trên miền hữu hạn của nó khi hệ số đủ nhanh. Còn nếu chỉ yêu cầu trên một khoảng hữu hạn, có thể dùng chuỗi dạng alternating để kiểm soát biên.

Further reading

power series, absolute convergence, conditional convergence

FAQ

Can a power series diverge for every real x?

No. At x=0, a power series becomes the constant term a_0, so it cannot diverge for every real x.

Can a power series converge for all real x?

Yes. For example, sum x^n/n! converges for all real x because it has infinite radius of convergence.

chat
question_answerHomework Q&AtimelineLearn ModepsychologyQuizcalculateGPA Calculator