Find the radius of convergence of two power series

Key takeaway: Với chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ thường lộ ra rất nhanh nếu dùng root test hoặc ratio test đúng cách. Hai chuỗi ở đây đều có hệ số giảm kiểu đa thức, nên trực giác đã nghiêng về $R=1$ ngay từ đầu.

Xét từng chuỗi một.

(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}x^n$

Đặt $a_n=\frac1n.$ Dùng root test: $\sqrt[n]{|a_nx^n|}=\sqrt[n]{\frac1n}|x|=n^{-1/n}|x|.$ Ta biết $n^{1/n}\to 1 \quad \Rightarrow \quad n^{-1/n}\to 1.$ Vì vậy $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=|x|.$ Theo root test:

• hội tụ khi $|x|<1$,
• phân kỳ khi $|x|>1$.

Suy ra bán kính hội tụ là $R=1.$

(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}x^n$

Ở đây $a_n=n^{-3/2}.$ Lại dùng root test: $\sqrt[n]{|a_nx^n|}=\sqrt[n]{n^{-3/2}}|x|=n^{-3/(2n)}|x|.$ Vì $n^{-3/(2n)}\to 1,$ nen $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=|x|.$ Do đó chuỗi cũng hội tụ khi $|x|<1$ và phân kỳ khi $|x|>1$.

Suy ra $R=1.$

---

Pitfalls the pros know 👇 Đừng quên root test chỉ cho biết miền $|x|<1$ và $|x|>1$; tại biên $x=\pm1$ vẫn phải xét riêng. Nhiều bạn nhìn thấy $1/n$ hoặc $1/n^{3/2}$ rồi đoán luôn bán kính, nhưng bán kính phụ thuộc vào tốc độ tăng của $x^n$ nhiều hơn là hệ số đa thức phía trước.

What if the problem changes? Nếu hệ số là $\frac{1}{n^p}$ với bất kỳ $p>0$, thì chuỗi $\sum \frac{1}{n^p}x^n$ vẫn có bán kính hội tụ $R=1$. Chỉ khác nhau ở hành vi tại $x=1$ và $x=-1$; phần đó phải kiểm tra bằng các bài kiểm tra chuỗi số quen thuộc.

Tags: root test, power series, radius of convergence